読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

end0tknr's kipple - 新web写経開発

http://d.hatena.ne.jp/end0tknr/ から移転します

自然対数:log と 自然対数の底(ネイピア数):e

すっかり忘れているので、写経。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/e-no-teigi.html
http://www.forkosh.com/mimetex.html

前準備

導関数

 f^\prime(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} のことで、例えば
 f(x) = x^2 \to f^\prime(x) = 2x となる

常用対数

 x = \log_aX \Leftrightarrow X = a^x

対数法則

 \log_a(XY) = \log_aX + \log_aY
 \log_a\frac{X}{Y} = \log_aX - \log_aY
 \log_aX^Y = Y\log_aX

導関数の定義による Y=logaX の算出

 \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to0}\frac{ \log_a(x+h) + \log_a{x} }{h}
 = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_a\frac{x+h}{x} = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})

ここで  \frac{h}{x} = t とおくと
 h\to0 \Rightarrow t\to0 となり、以下へ続く。

 = \lim_{t\to0}\frac{1}{xt}\log_a(1+t) = \lim_{t\to0}\frac{1}{x}\log_a(1+t)^{\frac{1}{t}}
 = \frac{1}{x} \log_a( \lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}} )

最後に以下を計算すると、2.718 ... の無理数となり、これが自然対数の底(ネイピア数:e)と表す
 \lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = 2.71828182845904... = e

自然対数の特徴

 \frac{d}{dx}e^x = e^x を導出します。

前準備(その1)

 \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x} = 1 の導出を以下にて行います。

 e = \lim_{x\to0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} の自然対数を取ります。
 \log{e} = \log{ \lim_{x\to0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} }
 1 = \lim_{x\to0}{\log{ (1 + x)^{\frac{1}{x}} }
 1 = \lim_{x\to0}{ \frac{\log{(1 + x)}}{x} }

前準備(その2)

 \lim_{x\to0}{ \frac{e^x - 1}{x}} = 1 の導出も以下にて行います。

 \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x} = 1 において
 1+x = e^t \Rightarrow x = e^t - 1 とおくと
 x \to 0 \Rightarrow t \to 0となり

 \lim_{t\to0}\frac{\log{e^t}}{e^t - 1} = 1
 \lim_{t\to0}\frac{t \cdot \log{e}}{e^t - 1} = 1
 \lim_{t\to0}\frac{t}{e^t - 1} = 1

最後に両辺の逆数をとり、更に t -> x で置換する。
 \lim_{x\to0}{ \frac{e^x - 1}{x}} = 1

改めて導関数の定義より、自然対数の特徴を導出

 \frac{d}{dx}e^x = \lim_{h\to0}{\frac{e^{x+h} - e^x}{h}}
 = \lim_{h\to0}{\frac{e^x \cdot e^h- e^x}{h}} = \lim_{h\to0}{\frac{e^x( e^h - 1)}{h}} = e^x \cdot \lim_{h\to0}{\frac{( e^h - 1)}{h}}
ここで、先程、導出した
 \lim_{x\to0}{ \frac{e^x - 1}{x}} = 1 により
 = e^x \cdot 1 = e^x