end0tknr's kipple - 新web写経開発

http://d.hatena.ne.jp/end0tknr/ から移転しました

ベクトルの内積、内積の成分表示、シュミットの正規直交化法

シュミットの正規直交化法をすっかり忘れていたので、基本からのメモ

内積の定義

 \displaystyle
\textbf{a} \cdot \textbf{b} =
\|a\| \cdot \|b\| \cdot cos \theta

 \displaystyle
||a||
 \displaystyle
||b||
は、ベクトルの大きさ(ノルム)

内積の成分表示

2次元ベクトル

 \displaystyle
\textbf{a} = 
\begin{pmatrix}
  x_{1} \\\
  y_{1}
\end{pmatrix}
,
\textbf{b} = 
\begin{pmatrix}
  x_{2} \\\
  y_{2}
\end{pmatrix}

\rightarrow

\textbf{a} \cdot \textbf{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}

3次元ベクトル

 \displaystyle
\textbf{a} = 
\begin{pmatrix}
  x_{1} \\\
  y_{1} \\\
  z_{1}
\end{pmatrix}
,
\textbf{b} = 
\begin{pmatrix}
  x_{2} \\\
  y_{2} \\\
  z_{2}
\end{pmatrix}

\rightarrow

\textbf{a} \cdot \textbf{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}

内積の成分表示の証明(2次元ベクトルにおける導出)

f:id:end0tknr:20170514085717p:plain bの反対ベクトル(-b)とで形成される△ADEで 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を考える。

 \displaystyle{ AE^2 = AD^2 + DE^2 }
 \displaystyle{
\|a - b\|^2 = ( \|a\| + \|b\| cos\theta  )^2 + ( \|b\| sin\theta  )^2
}
 \displaystyle{
\|a - b\|^2 =
  (\|a\|^2 + 2\|a\|\|b\|cos\theta + (\|b\|cos\theta)^2) + (\|b\|sin\theta)^2
  …(1)
}
 \displaystyle{
\|a - b\|^2 =
  \|a\|^2 + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + \|b\|^2
  …(2)
}

※式(1)→(2)の変形では、前述の内積の定義式や  sin^{2} \theta + cos^{2}\theta = 1 を利用してます。

更に  \displaystyle{
|a - b| =
\begin{pmatrix}
  x_1 - x_2 \\
  y_1 - y_2
\end{pmatrix}
} も利用し、式(2)を更に変形し、完成。

 \displaystyle{
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2 )^2 =
  (x_{1}^2 + y_{1}^2) + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + (x_{2}^2 + y_{2}^2)
}
 \displaystyle{
(x_{1}^2 - 2{x_1}{x_2} + x_{2}^2) + (y_{1}^2 - 2{y_1}{y_2} + y_{2}^2)=
  (x_{1}^2 + y_{1}^2) + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + (x_{2}^2 + y_{2}^2)
}
 \displaystyle{
- 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 2\textbf{a} \cdot \textbf{b}
}
 \displaystyle{
\underline{
  \textbf{a} \cdot \textbf{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}
}
}

シュミットの正規直交化法

今回は、シュミットの正規直交化法へつながる 「ベクトルa, bが与えられたときのaと垂直なベクトル」である

 \displaystyle{
\underline{
  \textbf{b} - \frac{ \textbf{a} \cdot \textbf{b}}{ \|a\|^2 } \textbf{a}
}  
}

を導出します。

f:id:end0tknr:20170514101355p:plain

上図より、aと垂直なベクトル(  \displaystyle{ \overrightarrow{BD} } )は、次のように表せる。

 \displaystyle{
\textbf{b} - \frac{\|b\| cos\theta}{\|a\|} \textbf{a} …(1) =
\textbf{b} - \frac{ \|a\|\|b\| cos\theta}{\|a\|^2} \textbf{a} …(2) =
\underline{
  \textbf{b} - \frac{ \textbf{a} \cdot \textbf{b} }{\|a\|^2} \textbf{a} …(3)
}
}

※(1)->(2)の変形では、2項の分母分子のそれぞれにベクトルaのノルムを掛け、 (2)->(3)の変形では、内積の定義式を利用しています