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end0tknr's kipple - 新web写経開発

http://d.hatena.ne.jp/end0tknr/ から移転します

余弦定理の証明

こうも忘れていると「そもそも当時、理解してたの?」と思いますが、 余弦定理と正弦定理もすっかり忘れていたので、以下、自分用メモ。 まずは、余弦定理から

余弦定理とは?

f:id:end0tknr:20170514170556p:plain

 \displaystyle a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos A
 \displaystyle b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac \cdot cos B
 \displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot cos C

余弦定理の証明

∠Aが鋭角,直角,鈍角に分け、導出します

(余弦)鋭角

f:id:end0tknr:20170514171207p:plain

上記のように補助線CHを描くと、CH, BHは次のように表せる。

 CH = b \cdot sin A  ,  BH = c - b \cdot cos A …(1)

また、△BCHは直角三角形である為、ピタゴラスの定理(三平方の定理)から  BC^{2} = CH^{2} + BH^{2} …(2)が成立する。

式(2)へ式(1)を代入し変形すると、余弦定理の式が導出できる。

 BC^{2} = (b \cdot sin A)^{2} + (c - b \cdot cos A)^{2}
 a^{2} = (b^{2} \cdot sin^{2} A) +
   (c^{2} - 2 bc \cdot cos A + b^{2} \cdot cos^{2} A)
 a^{2} = b^{2} (sin^{2} A + cos^{2} A) + c^{2} - 2 bc \cdot cos A
 \underline{ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 bc \cdot cos A }

(余弦)直角

f:id:end0tknr:20170514173423p:plain

また、△ABCは直角三角形である為、先程と同様、 ピタゴラスの定理(三平方の定理)を用います。

 a^{2} = b^{2} + c^{2}

また、∠A=90度 のとき、cos A=0 となる為、次の式が成立します。

 \underline{ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 bc \cdot cos A }

(余弦)鈍角

f:id:end0tknr:20170514173853p:plain

まず、直角三角形 BCHに対し、ピタゴラスの定理(三平方の定理)を用います。

 BC^{2} = BH^{2} + CH^{2} …(1)

また、

 sin (180-A) = \frac{CH}{b} \rightarrow CH = b \cdot sin (180 - A)
      \rightarrow CH = b \cdot sin A …(2)
 BH = BA + AH = c + (b \cdot cos(180 - A)) = c - b \cdot cos A …(3)

最後に式(2)(3)を式(1)へ代入し、変形すると、余弦定理の式が導出できます。

 a^{2} =  ( b \cdot sin A )^{2} + ( c - b \cdot cos A )^{2}
 a^{2} =  ( b^{2} \cdot sin^{2} A ) +
( c^{2} - 2bc \cdot cos A + b^{2} \cdot cos^{2} A )
 a^{2} =  b^{2} (sin^{2} A + cos^{2} A ) +
c^{2} - 2bc \cdot cos A
 \underline{
a^{2} =  b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos A
}