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正弦定理の証明

正弦定理は、なんとか…記憶にありましたが、余弦定理のついでに

正弦定理とは?

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 \frac {a}{sin A} =  \frac {b}{sin B} =  \frac {c}{sin C} = 2R
 ただし、Rは外接円の半径。

正弦定理の証明

先程の余弦定理と同様、∠Aが鋭角,直角,鈍角に分け、導出します

(正弦)鋭角

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まず、点Bと円の中心を通るBDを描くと、 BDは円の中心を通る為、△BCDは直角三角形 となります。

また、a を共有する為、∠A = ∠D でもあります。

ここで、sin BDC を求めると、 
 sin BDC = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}
となり、最終的に正弦定理を導出できます。


 sin A = \frac{a}{2R} \rightarrow \underline{2R = \frac{a}{sin A}}

(正弦)直角

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上図の通り、a = 2R で、また、sin A = sin 90 = 1 の為、以下が成り立つ。

 \underline{2R = \frac{a}{sin A}}

(正弦)鈍角

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上図のように、円の中心を通るBDを描くと、 □ABCDは外周円を持つ為、∠A + ∠D = 180度

ここで、sin Dを求めると、以下のように正弦定理を導出できます。

 sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}
 sin (180 - A) = \frac{a}{2R}
 \underline{ sin A = \frac{a}{2R} }