end0tknr's kipple - 新web写経開発

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部分積分の導出(証明)と、利用方法

以前の上記エントリとも関連しますが、この手の内容は「部分積分」という名前しか記憶にないので… end0tknr.hateblo.jp

部分積分の公式

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  \int^b_a f(x) g(x) dx = [ f(x) G(x) ]^b_a - \int^b_a f'(x) G(x) dx

※ただし、  G'(x) = g(x)

導出

積の微分の公式から変形して行きます

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  \{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \cdots 式1

上記を積分

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  f(x)g(x) = \int{ f'(x)g(x) } dx + \int{ f(x)g'(x)} dx

左辺/右辺を移項

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  \int{ f(x)g'(x)} dx = f(x)g(x) - \int{ f'(x)g(x) } dx
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  \int^b_a{ f(x)g'(x)} dx = [  f(x)g(x) ]^b_a - \int^b_a{ f'(x)g(x) } dx

最後に、前述の式1に  G'(x) = g(x) を適用し、完了

利用方法

例えば

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  \int^1_0 e^x x dx = [ e^x \cdot x ]^1_0 - \int^1_0 e^x \cdot 1 dx