シュミットの正規直交化法をすっかり忘れていたので、基本からのメモ

内積の定義

$\displaystyle \textbf{a} \cdot \textbf{b} = \|a\| \cdot \|b\| \cdot cos \theta$

※ $\displaystyle ||a||$ や $\displaystyle ||b||$ は、ベクトルの大きさ(ノルム)

内積の成分表示

2次元ベクトル

$\displaystyle \textbf{a} = \begin{pmatrix} x_{1} \\\ y_{1} \end{pmatrix} , \textbf{b} = \begin{pmatrix} x_{2} \\\ y_{2} \end{pmatrix} \rightarrow \textbf{a} \cdot \textbf{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$

3次元ベクトル

$\displaystyle \textbf{a} = \begin{pmatrix} x_{1} \\\ y_{1} \\\ z_{1} \end{pmatrix} , \textbf{b} = \begin{pmatrix} x_{2} \\\ y_{2} \\\ z_{2} \end{pmatrix} \rightarrow \textbf{a} \cdot \textbf{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$

内積の成分表示の証明(2次元ベクトルにおける導出)

f:id:end0tknr:20170514085717p:plain bの反対ベクトル(-b)とで形成される△ADEで三平方の定理(ピタゴラスの定理)を考える。

$\displaystyle{ AE^2 = AD^2 + DE^2 }$

$\displaystyle{ \|a - b\|^2 = ( \|a\| + \|b\| cos\theta )^2 + ( \|b\| sin\theta )^2 }$

$\displaystyle{ \|a - b\|^2 = (\|a\|^2 + 2\|a\|\|b\|cos\theta + (\|b\|cos\theta)^2) + (\|b\|sin\theta)^2 …(1) }$

$\displaystyle{ \|a - b\|^2 = \|a\|^2 + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + \|b\|^2 …(2) }$

※式(1)→(2)の変形では、前述の内積の定義式や $sin^{2} \theta + cos^{2}\theta = 1$ を利用してます。

更に $\displaystyle{ |a - b| = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix} }$ も利用し、式(2)を更に変形し、完成。

$\displaystyle{ (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2 )^2 = (x_{1}^2 + y_{1}^2) + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + (x_{2}^2 + y_{2}^2) }$

$\displaystyle{ (x_{1}^2 - 2{x_1}{x_2} + x_{2}^2) + (y_{1}^2 - 2{y_1}{y_2} + y_{2}^2)= (x_{1}^2 + y_{1}^2) + 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} + (x_{2}^2 + y_{2}^2) }$

$\displaystyle{ - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 2\textbf{a} \cdot \textbf{b} }$

$\displaystyle{ \underline{ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} } }$

シュミットの正規直交化法

今回は、シュミットの正規直交化法へつながる「ベクトルa, bが与えられたときのaと垂直なベクトル」である

$\displaystyle{ \underline{ \textbf{b} - \frac{ \textbf{a} \cdot \textbf{b}}{ \|a\|^2 } \textbf{a} } }$

を導出します。

f:id:end0tknr:20170514101355p:plain

上図より、aと垂直なベクトル( $\displaystyle{ \overrightarrow{BD} }$ )は、次のように表せる。

$\displaystyle{ \textbf{b} - \frac{\|b\| cos\theta}{\|a\|} \textbf{a} …(1) = \textbf{b} - \frac{ \|a\|\|b\| cos\theta}{\|a\|^2} \textbf{a} …(2) = \underline{ \textbf{b} - \frac{ \textbf{a} \cdot \textbf{b} }{\|a\|^2} \textbf{a} …(3) } }$