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余弦定理の証明

こうも忘れていると「そもそも当時、理解してたの?」と思いますが、余弦定理と正弦定理もすっかり忘れていたので、以下、自分用メモ。まずは、余弦定理から

余弦定理とは?

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$\displaystyle a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos A$

$\displaystyle b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac \cdot cos B$

$\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot cos C$

余弦定理の証明

∠Aが鋭角,直角,鈍角に分け、導出します

(余弦)鋭角

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上記のように補助線CHを描くと、CH, BHは次のように表せる。

$CH = b \cdot sin A , BH = c - b \cdot cos A …(1)$

また、△BCHは直角三角形である為、ピタゴラスの定理(三平方の定理)から $BC^{2} = CH^{2} + BH^{2}$ …(2)が成立する。

式(2)へ式(1)を代入し変形すると、余弦定理の式が導出できる。

$BC^{2} = (b \cdot sin A)^{2} + (c - b \cdot cos A)^{2}$

$a^{2} = (b^{2} \cdot sin^{2} A) + (c^{2} - 2 bc \cdot cos A + b^{2} \cdot cos^{2} A)$

$a^{2} = b^{2} (sin^{2} A + cos^{2} A) + c^{2} - 2 bc \cdot cos A$

$\underline{ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 bc \cdot cos A }$

(余弦)直角

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また、△ABCは直角三角形である為、先程と同様、ピタゴラスの定理(三平方の定理)を用います。

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

また、∠A=90度のとき、cos A=0 となる為、次の式が成立します。

$\underline{ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 bc \cdot cos A }$

(余弦)鈍角

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まず、直角三角形 BCHに対し、ピタゴラスの定理(三平方の定理)を用います。

$BC^{2} = BH^{2} + CH^{2} …(1)$

また、

$sin (180-A) = \frac{CH}{b} \rightarrow CH = b \cdot sin (180 - A) \rightarrow CH = b \cdot sin A …(2)$

$BH = BA + AH = c + (b \cdot cos(180 - A)) = c - b \cdot cos A …(3)$

最後に式(2)(3)を式(1)へ代入し、変形すると、余弦定理の式が導出できます。

$a^{2} = ( b \cdot sin A )^{2} + ( c - b \cdot cos A )^{2}$

$a^{2} = ( b^{2} \cdot sin^{2} A ) + ( c^{2} - 2bc \cdot cos A + b^{2} \cdot cos^{2} A )$

$a^{2} = b^{2} (sin^{2} A + cos^{2} A ) + c^{2} - 2bc \cdot cos A$

$\underline{ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos A }$