定義

n次正方行列Aに対し、 $A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}$ が成立するとき、定数:λを「固有値」、ベクトル $\textbf{x}$ を「固有ベクトル」

固有値、固有ベクトルの算出例

$\left( \begin{array}{cc} 8 , 1 \\ 4 , 5 \end{array} \right)$ の固有値、固有ベクトルを算出する。

まず、 $\left| A - \lambda E \right| = 0$ の行列式を解き、固有値を求める。

$\left| \begin{array}{cc} {8 - \lambda} & {1} \\\ {4} & {5 - \lambda} \end{array} \right| = 0$

$(8 - \lambda)(5 - \lambda) - 4 = 0$

$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$

$\underline{ \lambda = 4 , 9 }$

次に λ = 4 , 9 に対応するそれぞれの固有ベクトルを求める。

まずは「λ = 4」の場合

$\left( \begin{array}{cc} {8 - 4} & {1} \\\ {4} & {5 - 4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \end{array} \right) = 0$

$\left( \begin{array}{cc} {4} & {1} \\\ {4} & {1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \end{array} \right) = 0$

$4 x_{1} + x_{2} = 0$

よって、「λ = 4」に対応する固有ベクトルは $t \left( \begin{array}{c} {1} \\ {-4} \end{array} \right)$ 　※ただし、tは0以外の任意数。

次に「λ = 9」の場合

$\left( \begin{array}{cc} {8 - 9} & {1} \\\ {4} & {5 - 9} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \end{array} \right) = 0$

$\left( \begin{array}{cc} {-1} & {1} \\\ {4} & {-4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \end{array} \right) = 0$

$\begin{cases} - x_{1} + x_{2} = 0 \\\ 4 x_{1} -4 x_{2} = 0 \end{cases}$

よって、「λ = 9」に対応する固有ベクトルは $t \left( \begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array} \right)$ 　※ただし、tは0以外の任意数。