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太宰府天満宮の狛犬って、妙にカワイイ

線形代数 : 行列式とサラスの公式、そしてクラメル式によるn元1次連立方程式の解

「1次連立方程式の解」について「掃き出し法」は知ってましたが、 「クラメル式」は知らなかった(or すっかり忘れてた)のでメモ。

2次行列の行列式

{\bf{A}} = \left( \begin{array}{cc} {a} & {b} \\\ {c} & {d} \end{array} \right)

について、 \displaystyle \left| \bf{A} \right| = ad - bc

3次行列の行列式 (サラスの公式、4次以上もOK)

\displaystyle \left| \bf{A} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

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クラメル式によるn元1次連立方程式の解

\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ \vdots \\\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\\ b_{2} \\\ \vdots \\\ b_{n} \end{array} \right)

\displaystyle \left| \bf{A} \right| ≠ 0 のとき、上記の解は次のように行列式により算出できる。

\displaystyle \underline{ x_i = \frac { \left| \bf{A_i} \right| }{ \left| \bf{A} \right| } } 　ただし、i = 1～n。 また、Aiは、次のようにi列目をbに置換したもの

\displaystyle \left| \bf{A_i} \right| = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|