先日のHarrisコーナー検出から、SIFT特徴量へ移りたかったのですが、画像の微分やガウス関数を理解できていないようなので、寄り道。

参考URL

フィルタの種類

名称	目的	備考
ｿｰﾍﾞﾙ(sobel)	ｴｯｼﾞ抽出	※1
ﾌﾟﾚｳﾞｨｯﾄ(prewitt)	ｴｯｼﾞ抽出
ｶﾞｳｼｱﾝ(gaussian)	平滑化

※1 中央画素に2がかかる為、ｺﾝﾄﾗｽﾄの少ないｴｯｼﾞを強調できるがノイズも拾う

エッジ抽出における微分(離散近似)

グレースケール画像 I の明度変化は、x, y方向の微分係数 Ix,Iy で表し、画像勾配は次のようになります。

$\Large \nabla I = \left( \begin{array}{c} I_x \\\ I_y \end{array} \right) = ( I_x I_y )^T$

※ $\nabla はナブラ、Tは転置$ 　です

画像の微分には、次のような離散近似を行うようです。

$\Large I_x = I ＊ D_x　　I_y = I ＊ D_y$

上記「Dx」「Dy」の代表的なフィルタが、sobel と prewitt で、「＊」は畳込みを表します。

ソーベルとプレヴィットのフィルタ

ソーベルフィルタ(Dx, Dy)

$D_x = \left[ \begin{array}{ccc} Dx_{11} & Dx_{21} & Dx_{31} \\\ Dx_{12} & Dx_{22} & Dx_{32} \\\ Dx_{13} & Dx_{23} & Dx_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\\ -2 & 0 & 2 \\\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right]$

$D_y = \left[ \begin{array}{ccc} Dy_{11} & Dy_{21} & Dy_{31} \\\ Dy_{12} & Dy_{22} & Dy_{32} \\\ Dy_{13} & Dy_{23} & Dy_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]$

プレヴィット(Dx, Dy)

$D_y = \left[ \begin{array}{ccc} Dy_{11} & Dy_{21} & Dy_{31} \\\ Dy_{12} & Dy_{22} & Dy_{32} \\\ Dy_{13} & Dy_{23} & Dy_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]$

ソーベルによる畳込み演算の例

「畳込み」とは、 9画素それぞれに上記Dx, Dyなの係数をかけ、合算 した濃度値に置き換えることです。

$I = \left[ \begin{array}{cccc} I_{11} & I_{21} & I_{31} & I_{41} \\\ I_{12} & I_{22} & I_{32} & I_{42} \\\ I_{13} & I_{23} & I_{33} & I_{43} \\\ I_{14} & I_{24} & I_{34} & I_{44} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 10 & 10 & 0 \\\ 0 & 0 & 10 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

例えば、上記画像Iのある画素に対するIxをソーベルフィルタで算出します。

$Ix_{22} \\\ = (I_{11} Dx_{11}) + (I_{21} Dx_{21}) + (I_{31} Dx_{31})\\\ + (I_{12} Dx_{12}) + (I_{22} Dx_{22}) + (I_{32} Dx_{32})\\\ + (I_{13} Dx_{13}) + (I_{23} Dx_{23}) + (I_{33} Dx_{33}) \\\ = (0 \cdot -1) + (0 \cdot 0) + ( 0 \cdot 1) \\\ + (0 \cdot -2) + (10 \cdot 0) + (10 \cdot 2) \\\ + (0 \cdot -1) + (0 \cdot 0) + (10 \cdot 1) \\\ = 30$

平滑化を行うガウシアン(gaussian)フィルタ

ガウシアンフィルタでは、以下のガウス分布を使用しますが、畳込み?を使用する面では、先程のソーベル等と同様です。

$\Large g(x,y,\sigma) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma } exp ( \frac{x^2+y^2}{2 \sigma^2})$

例えば、 $g(x,y,\sigma)$ の標準偏差σ=1.3の場合、

$K = \Large{ \frac{1}{16} } \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\\ 2 & 4 & 2 \\\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]$

となりますし、更に大きな標準偏差の場合

$K = \Large{ \frac{1}{256} } \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\\ 6 & 24 & 36 & 24 & 6 \\\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right]$