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tex記法の練習、兼、待ち行列モデル(M/M/1)の復習

待ち行列モデル(M/M/1)の質問を受けましたが、うまく答えることができなかったので、今回は、はてな::tex記法の練習を兼ねて、待ち行列モデルの一つであるM/M/1を復習します。

また、はてなのヘルプにも記載してありますが、tex記法の詳細は、次のurlにある本家mimeTeX をご覧になるといいようです。

http://www.forkosh.com/mimetex.html

待ち行列モデル(M/M/1)の概要

待ち行列モデルは、スーパーのレジ等の行列の平均長さのや、列に並んでからの平均待ち時間を求める際に使用します。

特にM/M/1モデルでは、次のような仮定を行います。

記号 要素 モデルの仮定
M 到着分布 ランダム(ポアソン分布)
M サービス時間 ランダム(指数分布)
1 窓口数 1

ポアソン分布や指数分布については、他のサイトをご覧下さい。

M/M/1モデルの代表的な数式

このモデルでは主に次のパラメータを使用します。
(この辺りから tex記法の練習も兼ねています)

項目 説明
平均到着率 \lambda 単位時間に到着する数
平均サービス時間 t_s -

更に窓口利用率や平均待ち時間は、これらのパラメータを使用して表すことができます。

項目 説明
平均サービス率 単位時間に処理できる平均リクエスト数 \mu = \frac{1} {t_s}
窓口利用率 窓口がサービスを行っている時間の割合 \rho = \lambda t_s
平均滞在数 行列の長さ L_w = \frac{\rho} {1-\rho}

平均滞在数の導出

質問されても答えることができなかったのが、「なぜ平均滞在数は、先程の式で表すことができるのか?」です。
この平均滞在数の導出は、次のurlに詳しく解説されていました。

http://networkprogramming.blog18.fc2.com/blog-entry-72.html

M/M/1モデルは、情報処理技術者試験でよく出題されるようですが、試験の為だけであれば、L_w = \frac{\rho} {1-\rho} の暗記を薦めます。