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NBDモデルと、ディリクレNBDモデル

先程のentryはガウス関数でしたが、 今回はガウス関数を使用しているNBDモデル (Negative Binomial Distribution、負の二項分布)と、 ブランド別の購入確率を求めるディリクレNBDモデル についてです。

目次

参考url - 数式解説チャンネル for ビジネス

NBDモデル(負の二項分布)の定義

NBDモデル(負の二項分布)の定義

    ●or〇をN回取出す━┓
        ↑             ↓
 ┌─┘ ┃ └─┐●or〇をd個追加
 │●●●〇〇〇│←━━┛  
 │●●●〇〇〇│
 │●●●〇〇〇│●玉:θ個 + 〇玉:n-θ個 = 計n個 
 └──────┘

上記のような「ポリヤの壺」のモデルにおいて N回中 r回●玉がでる確率の式で以下。

\Large{ N回中 r回●玉がでる確率 Pr = \frac {(1+ \frac {M}{K})・\Gamma(K+r) }{r!・\Gamma(K) }( \frac{M}{M+K} )^r }

ただし、M、Kは以下

\Large{ ﾌﾟﾚﾌｧﾚﾝｽ(平均購入回数) M = N \frac {θ}{n}、 分布ﾊﾟﾗﾒｰﾀ K = \frac {θ}{d} }

プレファレンスが NBDモデルを支配する

「NBDモデル」は「プレファレンス(消費者の好み)」で支配され、

「プレファレンス」は「ブランド資産価値」「価格」「製品パフォーマンス」で決まる

\Large{ プレファレンス M = \frac {総購入・総利用回数} {購入者・利用者の人数} }

NBDモデルの練習

5260世帯の 56%が歯磨き粉を購入し、平均購入回数:2.6回の場合
\Large{ プレファレンス M = \frac {5240・0.56・2.6} {5240} ≒ 1.46 }

次に分布パラメータ Kを求める為、r=0の場合のNBDモデル方程式を解く

\Large{ P_0 = \frac {(1+ \frac {M}{K})・\Gamma(K+0) }{0!・\Gamma(K) }( \frac{M}{M+K} )^0 → }
\Large{ 1-0.56 = \frac {(1+ \frac {M}{K})・\Gamma(K) }{1・\Gamma(K) } 1 → 0.44 = (1+ \frac {1.46}{K})^{-K} }

上記をexcelのソルバーで解くと、K=0.78。

求めたMとKをNBDモデルで代入すると以下

\Large{ Pr = \frac {(1+ \frac {1.46}{0.78})・\Gamma(0.78+r) } {r!・\Gamma(0.78) }( \frac{1.46}{1.46+0.78} )^r }

導出したPrで、r=0,1,2,3,4,5,6以上の各確率を算出すると以下

r Pr
0回 0.44
1回 0.22
2回 0.12
3回 0.07
4回 0.04
5回 0.03
6回以上 0.05

簡易版ディリクレNBDモデル

総購入回数:R、ブランドiの購入回数:riの確率:P(R,ri)

\Large{ P(R,r_i) = \\\ (総購入回数Rの下でﾌﾞﾗﾝﾄﾞiの購入回数riの確率)・(総購入回数Rの確率) = \\\ P(r_i|R)・P_R(NBDﾓﾃﾞﾙ) = \\\ (\frac {R!}{r_i!(R-r_i)!} \frac{\Gamma(S)}{\Gamma(α_i)\Gamma(S-α_i)} \frac{\Gamma(α_i+r_i)\Gamma(S-α_i+R-r_i)}{\Gamma(S+R)}) ((1+\frac{MT}{K})^{-K} \frac{\Gamma(K+R)}{R!\Gamma(K)}(\frac{MT}{MT+K})^R) }

パラメータ ﾌﾟﾚﾌｧﾚﾝｽ:Mと、分布ﾊﾟﾗﾒｰﾀ:Kの算出

「NBDモデルの練習」で求めたM=1.46、K=0.78の通りですので、 ここでは省略します

パラメータ ディリクレ:S の算出

ブランド1が、T=1(四半期)で購入回数=0の確率

\Large{ \sum^∞_{R=0} P(R,r_1=0) = \\\ \sum^∞_{R=0} \frac{\Gamma(S)}{\Gamma(α_1)\Gamma(S-α_1)} \frac{\Gamma(α_1)\Gamma(S-α_1+R)}{\Gamma(S+R)} (1+\frac{M}{K})^{-K} \frac{\Gamma(K+R)}{R!\Gamma(K)}(\frac{M}{M+K})^R = \\\ \sum^∞_{R=0} \frac{\Gamma(S)\Gamma(S-α_1+R)}{\Gamma(S-α_1)\Gamma(S+R)} (1+\frac{M}{K})^{-K} \frac{\Gamma(K+R)}{R!\Gamma(K)}(\frac{M}{M+K})^R }

ここで、ブランド1=コルゲイト、ブランドシェア=25%として、 上式のαをSを書き、また、購入しない確率=80% として方程式を解くと...

\Large{ α_i = S ・ ﾌﾞﾗﾝﾄﾞiのシェア　→　α_1 = S ・ 0.25 }

から、

\Large{ \sum^∞_{R=0} \frac{\Gamma(S)\Gamma(S-α_1+R)}{\Gamma(S-α_1)\Gamma(S+R)} (1+\frac{M}{K})^{-K} \frac{\Gamma(K+R)}{R!\Gamma(K)}(\frac{M}{M+K})^R = 0.8 }

以降の詳細は省略しますが、excelのソルバーで解くと、S=1.20 となり, ブランド1の購入回数=1～10の場合も算出できます。(できるらしい)

他参考 - 二項分布の式 (N回中 r回 赤玉がでる確率)

\Large{ Pr = \frac {N!}{r!(N-r)} ( \frac {θ}{n})^r ( \frac {n-θ}{n})^{N-r} }