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Harrisコーナー検出の定義式

Harrisコーナー検出とは、「一次微分値(差分)が一方向に大きければエッジ、多方向に大きければコーナー」の考えに基きます。

画像上の点の強度 I(x,y)と、そこから(u,v)移動した点強度 I(x+u,y+v) の変化量 E(u,v)を次のように表します。

$\Large E(u,v) = \sum_{x,y} w(x,y)(I(x+u,y+v) - I(x,y))^2　(式1)$

※ w(x,y)は窓関数(window function)で、ある区間外では0となるもの(例:ガウス窓)。

Iの導関数をIx , Iyとして、先程の式1にある I(x+u,y+v)部分にテイラー展開の

$f(x) ≒ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

を適用すると、次のように変形/近似できます

$\Large I(x+u,y+v) ≒ I(x,y) + I_u(x,y)u + I_v(x,y)v　(式2)$

よって、式1は次のようになります

$E(u,v) \\ \Large ≒ \sum_{x,y} w(x,y)( I(x,y) + I_u(x,y)u + I_v(x,y)v - I(x,y))^2 \\ \Large = \sum_{x,y} w(x,y)( I_u(x,y)u + I_v(x,y)v )^2　(式3)$

更に、次のようにMを設定して、行列式に変形します

$\Large M = \sum_{x,y} w(x,y) \left[ \begin{array}{cc} {I_X}^{2} & {I_X}{I_Y} \\\ {I_X}{I_Y} & {I_Y}^{2} \end{array} \right] 　(式4)$

$\Large E(u,v) ≒ [u,v] M \left[ \begin{array}{c} u \\\ v \end{array} \right] 　(式5)$

式4に特異点分解を行うと、エッジやコーナーの判定ができますが、固有値算出は計算量が多い為、次のRを用いて判定を行います。

$\Large R = detM - k(trace M)^2$

ここで、・detM とは、行列式です。(例 ad-bc)

・trace Mとは、対角和です。(例 a+d)

・kは定数 (0.04～0.06)

・R=大→コーナー、R=小さい→フラット、R<0→エッジ