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テイラー/マクローリン展開からのHarrisコーナー検出 (その1)

画像処理のコーナー検出手法であるHarrisコーナー検出を行おうとしていますが、 内部でテイラー展開を使用しているので、そこから振り返り。

今回の「その1」は、「テイラー/マクローリン展開の振り返り」まで

参考url

EMANの物理学・物理数学・テイラー展開

テイラー展開 - Wikipedia

テイラー展開とは

以下の通り


f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!} f''(x_0)(x-x_0)^2 +
       \frac{1}{3!} f'''(x_0)(x-x_0)^3 + \cdots  (式1)

式1に  x = x_0+h を代入して、次のようにも書けます


f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{1}{2!} f''(x_0)h^2 +
       \frac{1}{3!} f'''(x_0)h^3 + \cdots  (式2)

また、 x_0 が十分小さい時、式1は次のように書けます


f(x) ≒ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)  (式3)

マクローリン展開とは

式1において  x_0 = 0 としたもので、次のように簡略化できます。


f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2!} f''(0)x^2 +
       \frac{1}{3!} f'''(0)x^3 + \cdots  (式4)

テイラー展開の適用例

単純?な適用


e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots

\sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \cdots

2次式の変形への適用


f(x) =  - 3 - 4x + x^2

または上記にx=1周りのテイラー展開を適用すると、以下


f(x) ≒ (1-4-3) +(2-4)(x-1) + \frac{2}{2!}(x-1)^2
     = (-3) - 2(x-1) + (x-1)^2