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テイラー展開とは

以下の通り

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!} f''(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!} f'''(x_0)(x-x_0)^3 + \cdots (式1)$

式1に $x = x_0+h$ を代入して、次のようにも書けます

$f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{1}{2!} f''(x_0)h^2 + \frac{1}{3!} f'''(x_0)h^3 + \cdots (式2)$

また、 $x_0$ が十分小さい時、式1は次のように書けます

$f(x) ≒ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) (式3)$

式1において $x_0 = 0$ としたもので、次のように簡略化できます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2!} f''(0)x^2 + \frac{1}{3!} f'''(0)x^3 + \cdots (式4)$

$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots$

$\sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \cdots$

$f(x) = - 3 - 4x + x^2$

または上記にx=1周りのテイラー展開を適用すると、以下

$f(x) ≒ (1-4-3) +(2-4)(x-1) + \frac{2}{2!}(x-1)^2 = (-3) - 2(x-1) + (x-1)^2$