ごっちゃになっていましたので、再整理。

オレオレ要約

ガンマ関数とは階乗を正の実数へ拡張できるもの。

ガンマ分布はガンマ関数を用いており、単位時間毎の平均成功率:λの際、 k番目の成功が発生するまでの待機時間の確率を求めることができる。

また、分布が左右対称でない正規データからの異常検知にも使用できる。

ガンマ関数

参考url - 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」

ガンマ関数とは? - 階乗の一般化 (正の実数への拡張)

通常?、階乗は「3! =3x2=6」や「4!=4x3x2=24」のように「正の整数」に対し使用しますが、ガンマ関数は「正の実数」に拡張できます。 (下図の赤線のように一般化OK)

ガンマ関数の定義

$\Large{ s>0に対し　\Gamma(s) = \int^{∞}_{0} x^{s-1} e^{-x} dx }$

ガンマ関数の3つの性質

$\Large{ ① s>1のとき　\Gamma(s) = (s-1) \Gamma(s-1) }$

$\Large{ ② sが正整数のとき　\Gamma(s) = (s-1) ! }$

$\Large{ ③ \Gamma( \frac {1}{2}) = \sqrt{ π } }$

ガンマ関数の練習

先程の性質①③を利用すると、以下の通り

$\Large{ \Gamma( \frac {5}{2}) = \frac{3}{2} \Gamma( \frac {3}{2}) = \frac{3}{2} \frac{1}{2} \Gamma( \frac {1}{2}) = \frac{3}{2} \frac{1}{2} \sqrt{ π } = \frac {3}{4}\sqrt{ π } }$

ガンマ関数の応用 (n次元球の体積)

	1次元球	2次元球	3次元球	…	n次元球
式	x²≦r²	x²+y²≦r²	x²+y²+x²≦r²	…	x1²+x2²+…xn²≦r²
体積	2 r	π r²	4/3π r³	…	以下参照
表面積	2	2π	4π r²	…	以下参照

$\Large{ n次元球体積 = \frac {π^{n/2}}{ \Gamma( n/2+1)} r^n }$

表面積は体積の微分の為、以下

$\Large{ n次元球表面積 = \frac {n π^{n/2}}{ \Gamma( n/2+1)} r^{n-1} }$

ガンマ分布

参考url - わかりみサイエンス

ガンマ分布とは、確率密度関数

単位時間毎の平均成功率:λの際、 k番目の成功が発生するまでの待機時間の確率を求めることができ、内部に先程のガンマ関数を使用しています。

$\Large{ f(x) = \frac {λ^k}{ \Gamma(k) } x^{k-1} e^{-λx} }$

例題

ある交差点で「16回/年」の事故が起こる。
最初の1ケ月が経過する前に3回目の事故が発生する確率は?

まず、ガンマ分布の定義に λ=16、k=3 を代入。

$\Large{ f(x) = \frac {16^3}{ \Gamma(3) } x^{3-1} e^{-16x} }$

次に x= 1/12 を代入して、0.1506 (≒15%)を求めることができます。

$\Large{ f(1/12) = \frac {16^3}{ \Gamma(3) } 1/12^{3-1} e^{-16・1/12} = 0.1506 }$

その他 - ガウス 積分

ガウス〇〇も、今後、振り返りを行うかもしれませんので、メモしておきます

$\Large{ \int^{∞}_{-∞} e^{-x^2} dx = \sqrt{ π } }$

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ガンマ関数と、ガンマ分布