end0tknr's kipple - 新web写経開発

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固有値、固有ベクトル

主成分分析に利用する為、おさらい。

その他、シュレーディンガー方程式(量子力学)、マルコフ連鎖グラフ理論 でも利用されるらしいが、対角行列に変換できることに関係するのかな?、まっ、今回は単なるおさらいなので、気にしませんが

定義

n次正方行列Aに対し、   A \textbf{x} = \lambda  \textbf{x} が成立するとき、定数:λを「固有値」、 ベクトル  \textbf{x} を「固有ベクトル

固有値固有ベクトル の算出例


 \left(
    \begin{array}{cc}
      8 , 1 \\
      4 , 5
    \end{array}
  \right)
固有値固有ベクトルを算出する。

まず、  \left| A - \lambda E \right| = 0 行列式を解き、固有値を求める。


  \left|
    \begin{array}{cc}
      {8 - \lambda} & {1} \\\ 
      {4} & {5 - \lambda}
    \end{array}
  \right| = 0
 (8 - \lambda)(5 - \lambda) - 4 = 0
 \lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0
 \underline{ \lambda = 4 , 9 }

次に λ = 4 , 9 に対応するそれぞれの固有ベクトルを求める。

まずは「λ = 4」の場合


  \left(
    \begin{array}{cc}
      {8 - 4} & {1} \\\ 
      {4} & {5 - 4}
    \end{array}
  \right)
  \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\\ 
      x_2
    \end{array}
  \right)
= 0

  \left(
    \begin{array}{cc}
      {4} & {1} \\\ 
      {4} & {1}
    \end{array}
  \right)
  \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\\ 
      x_2
    \end{array}
  \right)
= 0
 4 x_{1} + x_{2} = 0

よって、「λ = 4」に対応する固有ベクトル 
  t
  \left(
    \begin{array}{c}
      {1} \\
      {-4}
    \end{array}
  \right)
 ※ただし、tは0以外の任意数。

次に「λ = 9」の場合


  \left(
    \begin{array}{cc}
      {8 - 9} & {1} \\\ 
      {4} & {5 - 9}
    \end{array}
  \right)
  \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\\ 
      x_2
    \end{array}
  \right)
= 0

  \left(
    \begin{array}{cc}
      {-1} & {1} \\\ 
      {4} & {-4}
    \end{array}
  \right)
  \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\\ 
      x_2
    \end{array}
  \right)
= 0

\begin{cases}
- x_{1} + x_{2} = 0 \\\
4 x_{1} -4 x_{2} = 0
\end{cases}

よって、「λ = 9」に対応する固有ベクトル 
  t
  \left(
    \begin{array}{c}
      {1} \\
      {1}
    \end{array}
  \right)
 ※ただし、tは0以外の任意数。